Question

【题目】如图1，已知抛物线L1：y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，在L1上任取一点P，过点P作直线l⊥x轴，垂足为D，将L1沿直线l翻折得到抛物线L2，交x轴于点M，N（点M在点N的左侧）．

（1）当L1与L2重合时，求点P的坐标；

（2）当点P与点B重合时，求此时L2的解析式；并直接写出L1与L2中，y均随x的增大而减小时的x的取值范围；

（3）连接PM，PB，设点P（m，n），当n= m时，求△PMB的面积．

Answer 1

【答案】（1）P（1，4）；（2）x≥5 ；（3）△PMB的面积为或3

【解析】

（1）由配方法可得顶点坐标；

（2）由对称性求出抛物线L2的顶点，进而得到解析式，由图象可得；

（3）利用点P在抛物线上和n=m构造方程求出m、n，分类讨论求△PMB的面积．

（1）由抛物线对称性，当点P为抛物线L1的顶点时，抛物线L1与L2重合

∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4

∴点P（1，4）

（2）在抛物线L1中，令y=0，即-x2+2x+3=0

解得x1=-1，x2=3

当点P与点B重合时，此时P（3，0）

∴抛物线L2与抛物线L1关于直线x=3对称

∴抛物线L2的顶点为（5，4）

∵由抛物线对称性可知，抛物线L1和L2开口方向和大小相同．

∴抛物线L2和的解析式为y=-（x-5）2+4=-x2+10x-21

∴结合图象可知，当x≥5时，抛物线L1与抛物线L2中，y均随x的增大而减小

（3）当n=m时，-m2+2m+3=m

解得m1=-，m2=2

∴点P坐标为（-，-）或（2，3）

①如图1，

当点P坐标为（-，-）时，点D的坐标为坐标为（-，0）

∴DB=3-（-）=

∴MB=2BD=2×=9

∴S△PMB=MBPD＝×9×＝

②如图2，

当点P坐标为（2，3）时，点D的坐标为坐标为（2，0）

∴DB=3-2=1

∴MB=2BD=2

∴S△PMB=MBPD＝×2×3＝3

综上所述当点n=m时，△PMB的面积为或3.