Question

【题目】如图，在中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线//BC，分别交，外角的平分线于点E、F.

（1）猜想与证明，试猜想线段OE与OF的数量关系，并说明理由.

（2）连接AE，AF，问：当点O在边AC上运动时到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由.

（3）若AC边上存在一点O，使四边形AECF是正方形，猜想的形状并证明你的结论.

Answer 1

【答案】（1）OE=OF，理由见解析.

（2）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形；

理由见解析.

（3）△ABC是直角三角形；证明见解析.

【解析】

（1）根据CE平分∠ACB，MN∥BC，找到相等的角，即∠OEC=∠ECB，再根据等边对等角得OE=OC，同理OC=OF，可得EO=FO．
（2）利用矩形的判定解答，即有一个内角是直角的平行四边形是矩形．
（3）利用已知条件及正方形的性质问题可解．

（1）证明：∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠ACE=∠BCE，
∵MN∥BC，
∴∠BCE=∠E，
∴∠ACE=∠E，
∴OE=OC，
同理可证OC=OF，
∴OE=OF；
（2）解：如图

当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．
理由是：当O为AC的中点时，AO=CO，
∵EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACG，
∴∠ECF=∠ACB+∠ACG=（∠ACB+∠ACG）=90°，
∴平行四边形AECF是矩形．

（3）△ABC是直角三角形

理由是：∵四边形AECF是正方形，
∴AC⊥EN，故∠AOM=90°，
∵MN∥BC，
∴∠BCA=∠AOM，
∴∠BCA=90°，
∴△ABC是直角三角形．