Question

【题目】有一列按一定顺序和规律排列的数：

第一个数是；

第二个数是；

第三个数是；

…

对任何正整数n，第n个数与第（n+1）个数的和等于．

（1）经过探究，我们发现：，，；

设这列数的第5个数为a，那么，，，哪个正确？

请你直接写出正确的结论；

（2）请你观察第1个数、第2个数、第3个数，猜想这列数的第n个数（即用正整数n表示第n数），并且证明你的猜想满足“第n个数与第（n+1）个数的和等于”；

（3）设M表示，，，…，，这2016个数的和，即，求证：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）由已知规律可得；

（2）先根据已知规律写出第n、n+1个数，再根据分式的运算化简可得；

（3）将每个分式根据＜＜=，展开后再全部相加可得结论．

试题解析：（1）由题意知第5个数a==；

（2）∵第n个数为，第（n+1）个数为，∴===；

即第n个数与第（n+1）个数的和等于；

（3）∵＜=1，＜＜，＜＜，…

＜＜，＜＜，∴，∴．