Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则下列判断：

①当AP=BP时，AB′∥CP；

②当AP=BP时，∠B′PC=2∠B′AC

③当CP⊥AB时，AP=；

④B′A长度的最小值是1．

其中正确的判断是 （填入正确结论的序号）

Answer 1

【答案】①②④．

【解析】

试题分析：①∵在△ABC中，∠ACB=90°，AP=BP，∴AP=BP=CP，∴∠B=∠BPC=（180°﹣∠APB′），由折叠的性质可得：CP=B′P，∠CPB′=∠BPC=（180°﹣∠APB′），∴AP=B′P，∴∠AB′P=′B′AP=（180°﹣∠APB′），∴∠AB′P=∠CPB′，∴AB′∥CP；故①正确；

②∵AP=BP，∴PA=PB′=PC=PB，∴点A，B′，C，B在以P为圆心，PA长为半径的圆上，∵由折叠的性质可得：BC=B′C，∴，∴∠B′PC=2∠B′AC；故②正确；

③当CP⊥AB时，∠APC=∠ACB，∵∠PAC=∠CAB，∴△ACP∽△ABC，∴，∵在Rt△ABC中，由勾股定理可知：AC===4，∴AP==；故③错误；

④由轴对称的性质可知：BC=CB′=3，∵CB′长度固定不变，∴当AB′+CB′有最小值时，AB′的长度有最小值．

根据两点之间线段最短可知：A．B′、C三点在一条直线上时，AB′有最小值，∴AB′=AC﹣B′C=4﹣3=1．故④正确．

故答案为：①②④．