Question

【题目】如图，等腰△ABC中，AB＝AC，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD与CE相交于点O，点M，N分别为线段BO和CO的中点．求证：四边形EDNM是矩形．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】试题分析：由题意得出ED是△ABC的中位线，得出ED∥BC，ED=BC，由题意得出MN是△OBC的中位线，得出MN∥BC，MN=BC，因此ED∥MN，ED=MN，证明四边形EDNM是平行四边形，再由SAS证明△ABD≌△ACE，得出BD=CE，证出DM=EN，即可得出四边形EDNM是矩形．

试题解析：证明：∵BD，CE分别是AC，AB边上的中线

∴AE＝AB，AD＝AC，ED是△ABC的中位线

∴ED∥BC，ED＝BC.

∵点M，N分别为线段BO和CO的中点

∴OM＝BM，ON＝CN，MN是△OBC的中位线

∴MN∥BC，MN＝BC

∴ED∥MN，ED＝MN

∴四边形EDNM是平行四边形

∴OE＝ON，OD＝OM.∵AB＝AC

∴AE＝AD.

在△ABD和△ACE中，

∴△ABD≌△ACE

∴BD＝CE

∴EO＋ON＋CN＝BM＋OM＋OD

∴3OE＝3OM，

即OE＝OM.

又∵DM＝2OM，EN＝2OE，

∴DM＝EN

∴四边形EDNM是矩形