Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，且OA、OB的长满足|OA﹣8|＋（OB﹣6）2＝0，∠ABO的平分线交x轴于点C过点C作AB的垂线，垂足为点D，交y轴于点E．

（1）求线段AB的长；

（2）求直线CE的解析式；

（3）若M是射线BC上的一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以A、B、M、P为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）求线段AB=10；（2）求直线CE的解析式y=-x-4；(3)点P的坐标(-4，8)、(3，2)；

【解析】试题分析：

(1) 根据绝对值和平方的非负性可以获得线段OA和OB的长. 利用勾股定理可以得到线段AB的长.

(2) 要求直线CE的解析式，需要先求点C和点E的坐标. 利用角平分线的性质可以得到OB=DB，OC=DC. 利用已知的线段长度和各线段之间的关系，在Rt△ADC中通过勾股定理可以获得关于OC的方程，求解这一方程即可获得点C的坐标. 利用对顶角的关系可以证明△ADC与△EOC全等，进而可以利用线段AD的长获得点E的坐标. 利用点C和点E的坐标通过待定系数法即可求得直线CE的解析式.

(3) 根据题意可以在第一和第二象限内各找到一个符合题意的点P. 因此，本小题应该对这两种情况分别进行讨论. 在求解位于第二象限内的点P坐标的时候，可以过点P作y轴的垂线PG. 利用△BOC和△AMC相似的关系获得线段AM的长，利用矩形的性质得到线段PB的长. 利用△PGB与△BOC相似的关系获得线段PG和BG的长，进而写出点P的坐标. 在求解位于第一象限内的点P坐标的时候，可以过点P作y轴的垂线PH. 利用△ABM与△DBC相似的关系获得线段AM的长，利用矩形的性质得到线段PB的长. 利用△PHB与△BOA相似的关系获得线段PH和BH的长，进而写出点P的坐标.

试题解析：

(1) ∵，

∴OA=8，OB=6.

∴在Rt△AOB中， .

(2) 设OC=m，则AC=OA-OC=8-m.

∵点C在∠ABO的平分线上，

∴.

∵OC⊥BE，CD⊥AB，

∴∠BOC=∠BDC=90°.

∵在△BOC和△BDC中，

，

∴△BOC≌△BDC (AAS).

∴OB=DB=6，OC=DC=m.

∴AD=AB-BD=10-6=4.

∵在Rt△ADC中，AC2=AD2+CD2，

∴(8-m)2=42+m2，

∴m=3.

∴OC=m=3.

∴点C的坐标为(-3, 0).

∵在△ADC和△EOC中，

，

∴△ADC≌△EOC (ASA).

∴AD=EO=4.

∴点E的坐标为(0, -4).

设直线CE的解析式为y=kx+b (k≠0).

将点C和点E的坐标分别代入直线CE的解析式，得

，

解之，得

，

∴直线CE的解析式为.

(3) 点P的坐标为(-4, 8)或(3, 2). 求解过程如下.

根据题意，分别对下面两种情况进行讨论.

①如图①，四边形AMBP为矩形.

过点P作PG⊥OB，垂足为G.

∵OC=3，OB=6，

∴在Rt△BOC中， .

∵∠BOC=∠AMC=90°，∠BCO=∠ACM，

∴△BOC∽△AMC，

∴.

∵AC=OA-OC=8-3=5，OB=6， ，

∴.

∴在矩形AMBP中， .

∵∠PBM=90°，

∴∠PBG+∠OBC=180°-∠PBM=180°-90°=90°.

∵在Rt△BOC中，∠BCO+∠OBC=90°，

∴∠PBG=∠BCO.

∵∠PGB=∠BOC=90°，∠PBG=∠BCO，

∴△PGB∽△BOC，

∴.

∴， .

∴OG=OB+BG=6+2=8.

∴点P的坐标为(-4, 8).

②如图②，四边形AMBP为矩形.

如图②，过点P作PH⊥OB，垂足为H.

∵CD⊥AB，AM⊥AB，

∴CD∥AM，

∴△ABM∽△DBC，

∴.

∵CD=OC=3，BD=OB=6，AB=10，

∴.

∴在矩形AMBP中，BP=MA=5.

∵∠ABO+∠PBH=∠ABP=90°，

又∵在Rt△AOB中，∠ABO+∠BAO=90°，

∴∠PBH=∠BAO.

∵∠PHB=∠BOA=90°，∠PBH=∠BAO，

∴△PHB∽△BOA，

∴.

∴， .

∴OH=OB-BH=6-4=2.

∴点P的坐标为(3, 2).

综上所述，点P的坐标为(-4, 8)或(3, 2).