Question

【题目】如图，点E为正方形ABCD的边BC所在直线上的一点，连接AE，过点C作CF⊥AE于F，连接BF．

（1）如图1，当点E在CB的延长线上，且AC=EC时，求证：BF=；

（2）如图2，当点E在线段BC上，且AE平分∠BAC时，求证：AB+BE=AC；

（3）如图3，当点E继续往右运动到BC中点时，过点D作DH⊥AE于H，连接BH．求证：∠BHF=45°．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

试题分析：（1）根据等腰三角形的性质和直角三角形斜边中线的性质即可证得结论；

（2）作EG⊥AC于G，根据角平分线的性质得出BE=EG，进而通过RT△ABE≌RT△AGE得出AG=AB，然后证得△EGC是等腰直角三角形，从而证得EG=GC，即可证得AB+BE=AC；

（3）设正方形的边长为1，则AB=AD=1，BE=EC=，根据勾股定理求得AE=，然后通过证得△AEB∽△CEF，△ADH∽△EAB，对应边成比例证得CF=AH=，然后根据SAS证得△ABH≌△CBF，证得BH=BF，∠ABH=∠CBF，从而证得△HBF是等腰直角三角形，从而证得∠BHF=45°．

（1）证明：如图1，∵AC=EC，CF⊥AE，

∴AF=EF，

∴BF是RT△ABE的斜边的中线，

∴BF=AE；

（2）如图2，作EG⊥AC于G，

∵AE平分∠BAC，AB⊥BE，

∴BE=EG，

在RT△ABE和RT△AGE中

，

∴RT△ABE≌RT△AGE（HL），

∴AG=AB，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ACB=45°，

∴∠GEC=45°，

∴∠GEC=∠ACB=45°，

∴EG=GC，

∴AB+BE=AG+GC，

即AB+BE=AC；

（3）如图3，设正方形的边长为1，则AB=AD=1，

∵点E是BC中点，

∴BE=EC=，

∴AE==，

∵∠ABE=∠CFE=90°，∠AEB=∠CEF，

∴△AEB∽△CEF，

∴=，即=，

∴CF=，

∵AD∥BC，

∴∠DAH=∠AEB，

∵∠AHD=∠BEA=90°，

∴△ADH∽△EAB，

∴=，即=，

∴AH=，

∴CF=AH，

在△ABH和△CBF中

∴△ABH≌△CBF（SAS），

∴BH=BF，∠ABH=∠CBF，

∵∠ABH+∠HBE=∠ABE=90°，

∴∠HBF=90°，

∴△HBF是等腰直角三角形，

∴∠BHF=45°．