Question

【题目】等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，以下结论：①∠APO=∠DCO; ②∠APO+∠DCO=30°；③△OPC为等边三角形；④AC=AD+AP；⑤. 其中正确的有（ ）

A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个

Answer 1

【答案】B

【解析】如图，

①连接OB，

∵AB=AC，BD=CD，

∴AD是BC垂直平分线，

∴OB=OC=OP，

∴∠APO=∠ABO，∠DBO=∠DCO，

∵∠ABO+∠DBO=30°，

∴∠APO+∠DCO=30°.故①正确；

②∵△OBP中,∠BOP=180°∠OPB∠OBP，

△BOC中,∠BOC=180°∠OBC∠OCB，

∴∠POC=360°∠BOP∠BOC=∠OPB+∠OBP+∠OBC+∠OCB，

∵∠OPB=∠OBP，∠OBC=∠OCB，

∴∠POC=2∠ABD=60°，

∵PO=OC，

∴△OPC是等边三角形，故②正确；

③在AB上找到Q点使得AQ=OA，则△AOQ为等边三角形，

则∠BQO=∠PAO=120°，

在△BQO和△PAO中，

∴△BQO≌△PAO(AAS)，

∴PA=BQ，

∵AB=BQ+AQ，

∴AC=AO+AP，故③正确；

④作CH⊥CD，

∵∠HCB=60,∠PCO=60，

∴∠PCH=∠OCD，

在△CDO和△CHP中，

∴△CDO≌△CHP(AAS)，

∴S△OCD=S△CHP

∴CH=CD，

∵CD=BD，

∴BD=CH，

在RT△ABD和RT△ACH中，

∴RT△ABD≌RT△ACH(HL)，

∴S△ABD=S△AHC，

∵四边形OAPC面积=S△OAC+S△AHC+S△CHP,S△ABC=S△AOC+S△ABD+S△OCD

∴四边形OAPC面积=S△ABC.故④正确。

故选B.