Question

【题目】已知：，点是平面上一点，射线与直线交于点，射线与直线交于点，过点作，与所在的直线交于点.

（1）如图1，当，时，写出的一个余角，并证明；

（2）若，.

①如图2，当点在内部时，用等式表示与之间的数量关系，并加以证明；

②如图3，当点在外部时，依题意补全图形，并直接写出用等式表示的与之间的数量关系.

Answer 1

【答案】（1）∠ADB等；（2）①，证明见解析；②

【解析】

（1）根据余角的定义写出即可；根据同角的余角相等证明，再由平行线的性质证明，从而得出结论；

（2）①由是的外角可得，是的外角，得，再证明，进行代入求值即可得出结论；

②方法同①.

（1）如图3

的余角不唯一，如，写出一个即可.

证明：∵

∴，

∴

∵

∴

∴

（2）

证明，如图4

∵是的外角

∴

∵是的外角

∴

∵

∴

∴

∵

∴

∴

②补全图形见图5，

∵AF∥FC，

∴∠CAF=∠ACE

∵∠AEM是△ACE的外角

∴∠AEM=∠ACE+∠BAC，

∵∠AEM是△BME的外角

∴∠AEM=∠BME+∠MBE，

∴∠BME+∠MBE =∠ACE+∠BAC

∵，

∴120°+∠MBE =∠ACE+80°

∴

∴