Question

【题目】如图，已知△ABC是等边三角形，以AB为直径作⊙O，交BC边于点D，交AC边于点F，作DE⊥AC于点E．

（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若△ABC的边长为4，求EF的长度．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图1，连接OD，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠B=∠C=60°．

∵OB=OD，

∴∠ODB=∠B=60°．

∵DE⊥AC，

∴∠DEC=90°．

∴∠EDC=30°．

∴∠ODE=90°．

∴DE⊥OD于点D．

∵点D在⊙O上，

∴DE是⊙O的切线

（2）解：如图2，连接AD，BF，

∵AB为⊙O直径，

∴∠AFB=∠ADB=90°．

∴AF⊥BF，AD⊥BD．

∵△ABC是等边三角形，

∴ ， ．

∵∠EDC=30°，

∴ ．

∴FE=FC﹣EC=1．

【解析】（1）连接OD，根据等边三角形的性质求出∠ODE=90°，根据切线的判定定理证明即可；（2）连接AD，BF，根据等边三角形的性质求出DC、CF，根据直角三角形的性质求出EC，结合图形计算即可．