Question

【题目】如图，ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于E，DE⊥AE，下列结论：：①DE平分∠ADC；②E是BC的中点；③AD=2CD；④梯形ADCE的面积与△ABE的面积比是3：1，其中正确的结论的个数有（ ）

A.4
B.3
C.2
D.1

Answer 1

【答案】D
【解析】解：①∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，

∴∠BAD+∠ADC=180°，

∵AE平分∠BAD，

∴∠EAD=∠BAE= ∠BAD，

∵DE⊥AE，

∴∠AED=90°，

∴∠EAD+∠ADE=90°，

∴∠BAE+∠CDE=90°，

∴∠ADE=∠CDE，

∴DE平分∠ADC，故①正确；
②∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AB=AC

∴∠DAE=∠AEB，

∵∠EAD=∠BAE，

∴∠BAE=∠BEA，

∴AB=EB，

同理EC=DC，

∴EB=EC，

∴E是BC的中点，故②正确；
③∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC，

∵BE=EC，

∴AD=2CD，故③正确；
④∵四边形ABCD是平行四边形

∴S△AED= S平行四边形ABCD，

∴S△ABE+S△EDC═ S平行四边形ABCD，

∵EB=EC，

∴S△ABE=S△DCE，

∴梯形ADCE的面积与△ABE的面积比是3：1，故④正确，
故D符合题意.

故答案为：D．

①根据平行四边形的性质和平行线的性质∠BAD+∠ADC=180°，再由DE⊥AE可得∠EAD+∠ADE=90°，进而可证明∠ADE=∠CDE，从而可判断；
②根据四边形ABCD是平行四边形，进而证得AB=EB，EC=DC，从而可判断；
③根据四边形ABCD是平行四边形易判断；
④根据平行四边形的面积可得S△ABE=S△DCE，从而可得梯形ADCE的面积与△ABE的面积比.