Question

【题目】如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，且OE⊥AC于点E，过点C作⊙O的切线，交OE的延长线于点D，交AB的延长线于点F，连接AD．（1）求证：AD是⊙O的切线；

（2）若cos∠BAC=，AC=8，求线段AD的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

试题分析：（1）连接OC，由切线的性质得出∠OCD=90°，由等腰三角形的性质得出∠COD=∠AOD，由SAS证明△COD≌△AOD，得出∠OAD=∠OCD=90°，即可得出结论；

（2）由直角三角形的锐角关系证出∠ODA=∠BAC，由垂径定理得出AE=CE=AC=4，由三角函数得出，设DE=4x，AD=5x，则AE=3x=4，求出x，即可得出结果．

试题解析：（1）证明：连接OC，如图所示：

∵DC是⊙O的切线，

∴OC⊥DF，

∴∠OCD=90°，

∵OC=OA，OE⊥AC，

∴∠COD=∠AOD，

在△OAD和△OCD中，

，

∴△COD≌△AOD（SAS），

∴∠OAD=∠OCD=90°，

∴AD是⊙O的切线；

（2）解：∵∠OAD=90°，AC⊥OD，

∴∠ODA=∠BAC，AE=CE=AC=4，

在Rt△ADE中，cos∠BAC=cos∠ADE=，

∴设DE=4x，AD=5x，

则AE=3x=4，

∴x=，

∴AD=．