Question

【题目】如图，正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后折痕DE分别交AB、AC于点E、G，连结GF，给出下列结论：
①∠ADG=22.5°；②tan∠AED=2；③S△AGD=S△OGD；④四边形AEFG是菱形；⑤BE=2OG；⑥若S△OGF=1，则正方形ABCD的面积是6+4
其中正确有 ．

Answer 1

【答案】①④⑤
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠GAD=∠ADO=45°，
由折叠的性质可得：∠ADG= ∠ADO=22.5°，故①正确．
∵由折叠的性质可得：AE=EF，∠EFD=∠EAD=90°，
∴AE=EF＜BE，
∴AE＜ AB，
∴ ＞2，
在Rt△ADE中，tan∠AED= ＞2，故②错误．
∵∠AOB=90°，
∴AG=FG＞OG，△AGD与△OGD同高，
∴S△AGD＞S△OGD ， 故③错误．
∵∠EFD=∠AOF=90°，
∴EF∥AC，
∴∠FEG=∠AGE，
∵∠AGE=∠FGE，
∴∠FEG=∠FGE，
∴EF=GF，
∵AE=EF，
∴AE=GF，
∵AE=EF=GF，AG=GF，
∴AE=EF=GF=AG，
∴四边形AEFG是菱形，故④正确．
∴∠OGF=∠OAB=45°，
∴EF=GF= OG，
∴BE= EF= × OG=2OG．故⑤正确．
∵四边形AEFG是菱形，
∴AB∥GF，AB=GF．
∵∠BAO=45°，∠GOF=90°，
∴△OGF时等腰直角三角形．
∵S△OGF=1，
∴ OG2=1，解得OG= ，
∴BE=2OG=2 ，GF= ═2，
∴AE=GF=2，
∴AB=BE+AE=2 +2，
∴S正方形ABCD=AB2=（2 +2）2=12+8 ，故⑥错误．
∴其中正确结论的序号是：①④⑤共三个．
所以答案是①④⑤．
【考点精析】利用平行线的性质和等腰三角形的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）．