Question

【题目】如图，将平行四边形ABCD的边AB延长至点E，使BE=AB，连接DE，EC，DE，交BC于点O．

（1）求证：△ABD≌△BEC；
（2）连接BD，若∠BOD=2∠A，求证：四边形BECD是矩形．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：在平行四边形ABCD中，AD=BC，AB=CD，AB∥CD，则BE∥CD．

又∵AB=BE，

∴BE=DC，

∴四边形BECD为平行四边形，

∴BD=EC．

∴在△ABD与△BEC中，

，

∴△ABD≌△BEC（SSS）

（2）

证明：由（1）知，四边形BECD为平行四边形，则OD=OE，OC=OB．

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴∠A=∠BCD，即∠A=∠OCD．

又∵∠BOD=2∠A，∠BOD=∠OCD+∠ODC，

∴∠OCD=∠ODC，

∴OC=OD，

∴OC+OB=OD+OE，即BC=ED，

∴平行四边形BECD为矩形

【解析】（1）由平行四边形ABCD，易得四边形BECD为平行四边形，然后由SSS推出两三角形全等即可；（2）由（1），易证得BC=ED，即可证得四边形BECD是矩形．
【考点精析】本题主要考查了平行四边形的性质和矩形的判定方法的相关知识点，需要掌握平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分；有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；有三个角是直角的四边形是矩形；两条对角线相等的平行四边形是矩形才能正确解答此题．