Question

【题目】如图，正方形ABCD中，边长为12，DE⊥DC交AB于点E，DF平分∠EDC交BC于点F，连接EF．
（1）求证：EF=CF；
（2）当 = 时，求EF的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵正方形ABGD，

又∵DE⊥DC，

∴∠ADE+∠EDG=90°=∠GDC+∠EDG，

∴∠ADE=∠GDC．

又∵∠A=∠DGC，

且AD=GD，

在△ADE与△GDC中，

，

∴△ADE≌△GDC（ASA）．

∴DE=DC，且AE=GC．

在△EDF和△CDF中，

，

∴△EDF≌△CDF（SAS）．

∴EF=CF

（2）解：∵ = ，

∴AE=GC=4．

设EF=x，则BF=16﹣CF=16﹣x，BE=12﹣4=8．

由勾股定理，得x2=（16﹣x）2+82．

解之，得x=10，

即EF=10

【解析】（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质证明即可；（2）设EF=x，根据勾股定理解答即可．