【题目】如图1，矩形ABCD中，AB=6，∠DBC=30°，DM平分∠BDC交BC于M，△EFG中，∠F=90°，GF= ，∠E=30°，点F、G、B、C共线，且G、B重合，△EFG沿折线B﹣M﹣D方向以每秒 个单位长度平移，得到△E1F1G1 ， 平移过程中，点G1始终在折线B﹣M﹣D上，△E1F1G1与△DBM无重叠时，△E1F1G1停止运动，设△E1F1G1与△DBM重叠部分面积为S，平移时间为t，

（1）当△E1F1G1的顶点G1恰好在BD上时，t=秒；
（2）直接写出S与t的函数关系式，及自变量t的取值范围；
（3）如图2，△E1F1G1平移到G1与M重合时，将△E1F1G1绕点M旋转α°（0°＜α＜180°）得到△E2F2G1 ， 点E1、F1分别对应E2、F2 ， 设直线F2E2与直线DM交于P，与直线DC交于Q，是否存在这样的α，使△DPQ为直角三角形？若存在，求α的度数和DQ的长；若不存在，请说明理由．

参考答案：

【答案】
（1）3
（2）

解：在Rt△DCM中，∵∠C=90°，CD=6，∠CDM=30°，

∴CM=2 ，DM=4 ，

∴BM=4 ．

①如图2中，当0＜t≤4时，重叠部分是四边形NF1GH，

S=S ﹣S = ×3× ﹣ （2 ﹣ t）（2﹣ t）=﹣ t2+2 t﹣ ，

②如图3中，当4＜t≤7时，重叠部分是四边形GHNF1，

S=S ﹣S = ﹣ [2 ﹣ （8 ﹣ t）][2﹣ （8﹣t）]=﹣ t2+ t﹣ ，

③如图4中，当7＜t≤8时，重叠部分是△GHN，

S= （8 ﹣ t） （8 ﹣ t）= t2﹣6 t+24 ，

综上所述，S=


（3）

解：存在．

理由：①如图5中，当∠DQP=90°时，

∵∠QCM=∠CQF2=∠QF2M=90°，

∴四边形MCQF2是矩形，

∴CQ=MF2= ，∠F2MC=90°

∴α=90°，DQ=CD﹣CQ=6= ．

②如图6中，当∠DPQ=90°时，点P与点F2重合，点E、Q、C重合，此时α=120°，DQ=CD=6．

综上所述，当α=90°，DQ=6﹣ 或α=120°，DQ=6时，△DPQ为直角三角形


【解析】解：（1）如图1中，连接AC交BD于点O，作OH⊥BC于点H．

∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=6，BO=OD，
∴BH=HC，
∴OH= CD=3，
在Rt△DBC中，∵CD=6，∠DBC=30°，
∴BC=6 ，BD=12，BH=HC=3
∵在△EFG中，∠F=90°，GF= ，∠E=30°，
∴EF=3，EB=2 ，
∴当△E1F1G1的顶点E1恰好在BD上时，点E平移到点O处．
此时t= =3，
∴t=3时，△E1F1G1的顶点E1恰好在BD上，
所以答案是3．
【考点精析】关于本题考查的翻折变换（折叠问题），需要了解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和角相等才能得出正确答案．

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