Question

【题目】如图1，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB=4，矩形OBDC的边CD=1，延长DC交抛物线于点E．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P是直线EO上方抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线EO于点G，作PH⊥EO，垂足为H．设PH的长为l，点P的横坐标为m，求l与m的函数关系式（不必写出m的取值范围），并求出l的最大值；

（3）如果点N是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M，使得以M，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵矩形OBDC的边CD=1，

∴OB=1，

∵AB=4，

∴OA=3，

∴A（﹣3，0），B（1，0），

把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得 ，解得 ，

∴抛物线解析式为y=﹣ x2﹣ x+2；

（2）

解：在y=﹣ x2﹣ x+2中，令y=2可得2=﹣ x2﹣ x+2，解得x=0或x=﹣2，

∴E（﹣2，2），

∴直线OE解析式为y=﹣x，

由题意可得P（m，﹣ m2﹣ m+2），

∵PG∥y轴，

∴G（m，﹣m），

∵P在直线OE的上方，

∴PG=﹣ m2﹣ m+2﹣（﹣m）=﹣ m2﹣ m+2=﹣ （m+ ）2+ ，

∵直线OE解析式为y=﹣x，

∴∠PGH=∠COE=45°，

∴l= PG= [﹣ （m+ ）2+ ]=﹣ （m+ ）2+ ，

∴当m=﹣ 时，l有最大值，最大值为 ；

（3）

解：①当AC为平行四边形的边时，则有MN∥AC，且MN=AC，如图，过M作对称轴的垂线，垂足为F，设AC交对称轴于点L，

则∠ALF=∠ACO=∠FNM，

在△MFN和△AOC中

∴△MFN≌△AOC（AAS），

∴MF=AO=3，

∴点M到对称轴的距离为3，

又y=﹣ x2﹣ x+2，

∴抛物线对称轴为x=﹣1，

设M点坐标为（x，y），则|x+1|=3，解得x=2或x=﹣4，

当x=2时，y=﹣ ，当x=﹣4时，y= ，

∴M点坐标为（2，﹣ ）或（﹣4，﹣ ）；

②当AC为对角线时，设AC的中点为K，

∵A（﹣3，0），C（0，2），

∴K（﹣ ，1），

∵点N在对称轴上，

∴点N的横坐标为﹣1，

设M点横坐标为x，

∴x+（﹣1）=2×（﹣ ）=﹣3，解得x=﹣2，此时y=2，

∴M（﹣2，2）；

综上可知点M的坐标为（2，﹣ ）或（﹣4，﹣ ）或（﹣2，2）．

【解析】（1）由条件可求得A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）可先求得E点坐标，从而可求得直线OE解析式，可知∠PGH=45°，用m可表示出PG的长，从而可表示出l的长，再利用二次函数的性质可求得其最大值；（3）分AC为边和AC为对角线，当AC为边时，过M作对称轴的垂线，垂足为F，则可证得△MFN≌△AOC，可求得M到对称轴的距离，从而可求得M点的横坐标，可求得M点的坐标；当AC为对角线时，设AC的中点为K，可求得K的横坐标，从而可求得M的横坐标，代入抛物线解析式可求得M点坐标．
【考点精析】认真审题，首先需要了解二次函数的性质(增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小)．