Question

【题目】如图，A是以BC为直径的⊙O上的一点， AD⊥BC于点D，过点B作⊙O的切线，与CA的延长线相交于点E, 点F是EB的中点，连结CF交AD于点G.

（1）求证：AF是⊙O的切线；

（2）求证：AG=GD；

（3）若FB=FG，且⊙O的半径长为，求BD.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）

【解析】

试题分析：（1）连接AB, OA，根据直径所对的圆周角是直角可得∠BAC=90°，∠BAE=90°，根据切线的判定与性质可证明；

（2）利用相似三角形的性质与判定可证明；

（3）过点F作FH⊥AD于点H，由等腰三角形和相似三角形的性质与判定可求解.

试题解析：（1）连接AB, OA，

∵BC是直径

∴∠BAC=90°，∠BAE=90°

∵点F是EB的中点

∴AF=BF=EF

∵AF=BF

∴∠FBA=∠FAB

∵OB=OA

∴∠OBA=∠OAB

∴∠FBD=∠FAO

∵BF是⊙O的切线

∴∠FBD=90°

∴∠FAO=90°

∴AF是⊙O的切线。

（2）∵AD⊥BC，∠FBD=90°

∴EB∥AD

∴△FBC∽△GDC, △EBC∽△ADC

∴,

∴

∵EF=FB

∴AG=GD

（3）过点F作FH⊥AD于点H

∵AD⊥BC, FH⊥AD

∴FH∥BC

∴∠FHG=∠GDO, ∠HFG=∠DCG

∴△HFG∽△DCG

∵AD⊥BC, FH⊥AD,EB⊥BC

∴四边形HFBD是矩形

∴FH=BD

∵FG=FB,FB=FA

∴FA=FG

∴△AFG是等腰三角形

∴,

∵AG=GD

∴

设BD=x，则FH=x，CD=

∵△HFG∽△DCG

∴

∴

∴BD=