Question

【题目】已知：平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B在第二象限， AO= AB，∠BOX=150° .

（1）试判定△ABO的形状；

（2）若BC⊥BO，BC=BO，点D为CO的中点，AC、DB交于E，求证：AE=BE+CE.

（3）如图：若点E为y轴的正半轴上一动点，以BE为边作等边△BEG，延长GA交x轴于点P，问：AP与AO之间有何数量关系，试证明你的结论.

Answer 1

【答案】(1) △AOB为等边三角形；（2）证明见解析；（3）AP=2AO，理由见解析.

【解析】试题分析:(1)根据∠BOX=150°, ∠AOX=90°,计算出∠AOB=60°,又因为AO= AB,所以可以判定△ABO是等边三角形,(2)在AC上截取AM=CE,先证∠AEB=60°,理由是根据题意可得△AOB为等边三角形, △BOC为等腰直角三角形,确定出∠ABD度数,根据AB=BC,且夹角∠BAC=∠BCA,利用SAS得到△BCM和△BAE全等,利用全等三角形的性质可得BM=BE,得到△BEM是等边三角形,得到BE=EM,由AE=EM+AM,等量代换即可求证,

(3)AP=2AO,理由是根据题意得到BG=BE,AB=OB,

利用等式的性质得到∠ABG=∠OBE=60°,利用外角的性质得到∠APO=30°,在直角三角形中,利用30度所对直角边等于斜边的一半可以得到AP=2AO.

试题解析:(1)∵OB与x轴正半轴夹角为150°,x轴⊥y轴,

∴∠AOB=150°-90°=60°,

∵AO=AB,

∴△AOB为等边三角形,

（2）在AC上截取AM=EC,可得AM+EM=CE+EM,即AE=CM,

∵△AOB为等边三角形, △BOC为等腰直角三角形,

∴∠OBC=90°,∠ABO=60°,

∵D为CO的中点,

∴BD平分∠OBC,即∠CBD=∠OBD=45°,

∴∠ABD=105°,∠ABC=150°,

∴∠BAC=∠BCA=15°,

∴∠AEB=60°,

在△ABE和△CBM中,AB=CB,∠BAE=∠BCM,AE=CM,

∴△ABE≌△CBM（SAS）,

∴BM=BE,

∴△BEM为等边三角形,

∴BE=EM,

∴AE=AM+EM=CE+BE,

（3）AP=2AO,理由为:

∵△AOB与△BGE都为等边三角形,

∴BE=BG,AB=OB,∠EBG=∠OBA=60°,

∴∠EBG+∠EBA=∠OBA+∠EBA,即∠ABG=∠OBE,

在△ABG和△OBE中,AB=OB,∠ABG=∠OBE,BE=BG,

∴△ABG≌△OBE（SAS）,

∴△ABG≌△OBE（SAS）,

∴∠BAG=∠BOE=60°,

∴∠GAO=∠GAB+∠BAO=120°,

∵∠GAO为△AOP的外角,且∠AOP=90°,

∴∠APO=30°,

在Rt△AOP中,∠APO=30°,

则AP=2AO．