Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，AT是经过点A的切线，弦CD垂直AB于P点，Q为线段CP的中点，连接BQ并延长交切线AT于T点，连接OT．

（1）求证：BC∥OT；

（2）若⊙O直径为10，CD＝8，求AT的长；

（3）延长TO交直线CD于R，若⊙O直径为10，CD＝8，求TR的长．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；（2）10；（3）8

【解析】试题分析：（1）此题要通过构造相似三角形求解，由于P是CD的中点，由垂径定理知CD⊥AB，有切线的性质可得：AT⊥AB，由此可证得AT∥CD，得取PB的中点E，则又因为等量代换后可证得由此可得△TAO∽△QPE，根据相似三角形所得的等角，可证得OT∥QE,而QE是的中位线，则 QE∥BC，根据平行线的传递性即可证得BC∥OT．
（2）（3）题可利用△TAO∽△CPB，求出AT和OT的值，再利用△AOT∽△POR求出OR的值，从而解决问题．

试题解析：（1）证明：取PB的中点E，连接QE,

∵Q是PC的中点，E是PB的中点,

∴QE为△PBC的中位线，QE∥BC,

∵AT为经过A点的切线，AB为直径,

∴AT⊥AB,

∵CD⊥AB，∴AT∥CD，∠TAO＝∠QPE＝90°,

∴△BPQ∽△BAT，

∵PB＝2PE，AB＝2AO，

∴△TAO∽△QPE，∴∠AOT＝∠PEQ,

∴OT∥QE,

∵QE∥BC，∴BC∥OT .

（2）∵CD⊥AB，AB为直径，CD＝8,

∴CP＝PD＝4,

连接OC,

在Rt△OCP中，∵PC＝4，

∴OP＝3，∴PB＝OB－OP＝2,

BC∥OT，∴△TAO∽△CPB，

∵

∴AT＝10,

（3）解：在Rt△TAO中，

∵AT∥CR，∴△AOT∽△POR,

∴

∴