Question

【题目】如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）当∠ODB=30°时，求证：BC=OD．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵OD⊥AC OD为半径，

∴ = ，

∴∠CBD=∠ABD，

∴BD平分∠ABC

（2）证明：∵OB=OD，

∴∠OBD=∠0DB=30°，

∴∠AOD=∠OBD+∠ODB=30°+30°=60°，

又∵OD⊥AC于E，

∴∠OEA=90°，

∴∠A=180°﹣∠OEA﹣∠AOD=180°﹣90°﹣60°=30°，

又∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

在Rt△ACB中，BC= AB，

∵OD= AB，

∴BC=OD

【解析】（1）由OD⊥AC OD为半径，根据垂径定理，即可得 = ，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可证得BD平分∠ABC；（2）首先由OB=OD，易求得∠AOD的度数，又由OD⊥AC于E，可求得∠A的度数，然后由AB是⊙O的直径，根据圆周角定理，可得∠ACB=90°，继而可证得BC=OD．
【考点精析】本题主要考查了含30度角的直角三角形和垂径定理的相关知识点，需要掌握在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧才能正确解答此题．