Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AF平分∠BAC，交BD于点F．

（1）求证：；

（2）点A1、点C1分别同时从A、C两点出发，以相同的速度运动相同的时间后同时停止，如图，A1F1平分∠BA1C1，交BD于点F1，过点F1作F1E⊥A1C1，垂足为E，请猜想EF1，AB与三者之间的数量关系，并证明你的猜想；

（3）在（2）的条件下，当A1E＝6，C1E＝4时，则BD的长为　　．

Answer 1

【答案】（1）见解析； （2）AB－EF1＝ A1C1 ，理由见解析；（3）

【解析】试题分析：

（1）如下图，过点F作FG⊥AB于点G，则由AF平分∠CAB和四边形ABCD是正方形易证△AOF≌△AGF，△BGF是等腰直角三角形，由此可得AO=AG，FG=BG=OF，从而可得AB=AG+BG=AO+OF=AC+OF，变形即可得到结论；

（2）如下图，过F1作F1G1⊥A1B，过F1作F1H1⊥BC1由此可得四边形F1G1BH1是矩形．

由已知条件易得EF1＝G1F1＝F1H1，从而可得F1是三角形A1BC1的内心，由“直角三角形内切圆的半径与三条边长间的关系”结合CC1=AA1，即可求得EF1，AB与三者之间的数量关系；

（3）如图，设CC1=AA1=x，由点F1是△A1BC1的内心，点E1、G1、H1都是切点可得A1E＝（A1C1＋A1B－BC1）÷2，即A1E＝[A1C1＋（AB＋x）－（AB－x）]÷2＝（10＋2x）÷2＝6，

由此解得x＝1；然后在Rt△A1BC1中，由A1B2＋BC12＝AC12，可得：（AB＋1）2＋（AB－1）2＝100，解得AB的长即可由BD=AB求得BD的长.

试题解析：

（1）过F作FG⊥AB于G，

∵AF平分∠CAB，FO⊥AC，FG⊥AB，

∴OF＝FG，

∵∠AOF＝∠AGF＝90°，AF＝AF，OF＝FG，

∴△AOF≌△AGF，

∴AO＝AG，

直角三角形BGF中，∠DGA＝45°，

∴FG＝BG＝OF，

∴AB＝AG＋BG＝AO＋OF＝AC＋OF，

∴AB－OF＝AC．

（2）过F1作F1G1⊥A1B，过F1作F1H1⊥BC1，则四边形F1G1BH1是矩形．

∵BD平分∠ABC，A1F1平分∠BA1C1，

∴F1H1＝F1G1=EF1，

即：F1是三角形A1BC1的内心，

∴EF1＝（A1B＋BC1－A1C1）÷2…①

∵A1B＋BC1＝AB＋A1A＋BC－CC1，而CC1＝A1A，

∴A1B＋BC1＝2AB，

因此①式可写成：EF1＝（2AB－A1C1）÷2，

即AB－EF1＝A1C1．

（3）由（2）得，F1是三角形A1BC1的内心，且E1、G1、H1都是切点．

∴A1E＝（A1C1＋A1B－BC1）÷2，

如果设CC1＝A1A＝x，

A1E＝[A1C1＋（AB＋x）－（AB－x）]÷2＝（10＋2x）÷2＝6，

∴x＝1，

在直角三角形A1BC1中，根据勾股定理有A1B2＋BC12＝AC12，

即：（AB＋1）2＋（AB－1）2＝100，

解得AB＝7，

∴BD＝7．