Question

【题目】如图，△ABC是等边三角形，AC上有一点D，分别以BD为边作等边△BDE和等腰△BDF，边BC、DE交于点H，点F在BA延长线上且DB＝DF，连接CE．

（1）若AB＝8，AD＝4，求△BDF的面积；

（2）求证：BC＝AF+CE．

Answer 1

【答案】（1）12；（2）详见解析．

【解析】

（1）作DH⊥AB于H，如图1，利用等边三角形的性质得点D为AC的中点，则BD⊥AD，利用含30度的直角三角形三边的关系计算出DH、BF，从而得到△BDF的面积；

（2）如图2，先证明△BAD≌△BCE得到AD＝CE，∠4＝∠3＝60°，再证明∠ADF＝∠HBD＝∠5，则可判断△ADF≌△CED，从而得到AF＝CD，所以AC＝AD+CD＝CE+AF＝BC．

（1）解：作DH⊥AB于H，如图1，

∵△ABC是等边三角形，AB＝8，AD＝4，

∴点D为AC的中点，∠CAB=60°

∴BD⊥AD，

∴∠ADB＝90°，

∵DH⊥AB，

∴FH＝BH，∠ADH=30°

在Rt△ADH中，AH＝AD＝2，

∴BH＝6，DH＝=2，

∴BH＝HF＝6，

∴△BDF的面积＝×（6+6）×2＝12；

（2）证明：如图2，

∵△ABC、△DEB都为等边三角形，

∴∠4＝∠ABC＝∠DBE＝∠6＝60°，BA＝BC，BD＝BE

∴∠1＝∠2，

在△BAD和△BCE中

，

∴△BAD≌△BCE（SAS），

∴AD＝CE，∠4＝∠3＝60°，

而∠CHE＝∠DHB，

∴∠5＝∠HBD，

∵∠4＝∠F+∠ADF＝60°，∠HBD+∠1＝60°，

而∠1＝∠F，

∴∠ADF＝∠HBD＝∠5，

在△ADF和△CED中

∴△ADF≌△CED（SAS），

∴AF＝CD，

∴AC＝AD+CD＝CE+AF，

∴BC＝AF+CE．