Question

【题目】阅读材料：大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：1+2+3+…+100=？经过研究，这个问题的一般性结论是1+2+3+…+n=n（n+1），其中n是正整数．现在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×3+…n（n+1）=？

观察下面三个特殊的等式：

1×2=（1×2×3﹣0×1×2）

2×3=（2×3×4﹣1×2×3）

3×4=（3×4×5﹣2×3×4）

将这三个等式的两边相加，可以得到1×2+2×3+3×4=×3×4×5=20，

读完这段材料，请你思考后回答：

（1）1×2+2×3+…+10×11=________________；

（2）1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）=_________________________；

（3）1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）=______________________________．

（只需写出结果，不必写中间的过程）

Answer 1

【答案】 440； n(n+1)(n+2)； n(n+1)(n+2)(n+3).

【解析】(1)1×2+2×3+…+10×11=×10×11×12=440，

故答案为：440；

(2)1×2+2×3+…+n(n+1)= n(n+1)(n+2)，

故答案为： n(n+1)(n+2)；

(3)1×2×3+2×3×4+…+n(n+1)(n+2)= ×(1×2×3×40×1×2×3)+ ×(2×3×4×51×2×3×4)+…+×[n(n+1)(n+2)(n+3)(n1)n(n+1)(n+2)]= n(n+1)(n+2)(n+3)，

故答案为： n(n+1)(n+2)(n+3).