Question

【题目】如图，在等边三角形ABC中，AE=CD，AD、BE交于Q点，BP⊥AD于P点．

求证：
（1）△BAE≌△ACD；
（2）∠BQP=60°；
（3）BQ=2PQ．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC，∠BAE=∠C=60°，

在△ABE和△CAD中，

，

∴△ABE≌△CAD（SAS）

（2）∵△ABE≌△CAD

∴∠1=∠2，

∴∠BPQ=∠2+∠3=∠1+∠3=∠BAC=60°

（3）∵BQ⊥AD，

∴∠PBQ=90°﹣∠BPQ=90°﹣60°=30°，

∴BP=2PQ．

【解析】（1）由AB=AC，∠BAE=∠C，AE=CD，即可证明．（2）根据三角形的外角的性质，∠BPQ=∠2+∠3=∠1+∠3=∠BAC=60°，即可证明．（3）利用直角三角形30度性质即可解决问题．
【考点精析】利用等边三角形的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°．