Question

【题目】已知菱形ABCD的边长为5，∠DAB=60°．将菱形ABCD绕着A逆时针旋转得到菱形AEFG，设∠EAB=α，且0°＜α＜90°，连接DG、BE、CE、CF．

（1）如图（1），求证：△AGD≌△AEB；

（2）当α=60°时，在图（2）中画出图形并求出线段CF的长；

（3）若∠CEF=90°，在图（3）中画出图形并求出△CEF的面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）5 ；（3）

【解析】试题分析：（1）利用AD=AB，AG=AE，∠GAD=∠EAB（SAS）证明△AGD≌△AEB即可；

（2）当α=60°时，AE与AD重合，作DH⊥CF于H．由已知可得∠CDF=120°，DF=DC=5．在Rt△CDH中，CH=DCsin60°，继而求出CF的长；

（3）当∠CEF=90°时，延长CE交AG于M，连接AC，∠CEF=90°，只需求出EC的长，又EC=MC﹣ME．在Rt△AME和Rt△AMC中求解MC和ME的长即可．

试题解析：解：（1）∵菱形ABCD绕着点A逆时针旋转得到菱形AEFG，∴AG=AD，AE=AB，∠GAD=∠EAB=α．∵四边形AEFG是菱形，∴AD=AB，∴AG=AE，∴△AGD≌△AEB．

（2）解法一：如图（1），当α=60°时，AE与AD重合，作DH⊥CF于H．由已知可得∠CDF=120°，DF=DC=5，∴∠CDH=∠CDF=60°，CH=CF．

在Rt△CDH中，∵CH=DCsin60°=5×=，∴CF=2CH=5．

解法二：如图（1），当α=60°时，AE与AD重合，连接AF、AC、BD、AC与BD交于点O．

由题意，知AF=AC，∠FAC=60°，∴△AFC是等边三角形，∴FC=AC．

由已知，∠DAO=∠BAD=30°，AC⊥BD，∴AO=ADcos30°=，∴AC=2AO=5，∴FC=AC=5．

（3）如图（2），当∠CEF=90°时，延长CE交AG于M，连接AC．

∵四边形AEFG是菱形，∴EF∥AG．

∵∠CEF=90°，∴∠GME=90°，∴∠AME=90°．

在Rt△AME中，AE=5，∠MAE=60°，∴AM=AEcos60°=，EM=AEsin60°=．

在Rt△AMC中，易求AC=5，∴MC==，∴EC=MC﹣ME=﹣（﹣），∴S△CEF=ECEF=．