Question

【题目】如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为OC上动点(与点O不重合)，作AF⊥BE，垂足为G，交BO于H．连接OG、CG．

(1)求证：AH=BE；

(2)试探究：∠AGO 的度数是否为定值？请说明理由；

(3)若OG⊥CG，BG=，求△OGC的面积．

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2)45°；(3)9.

【解析】

（1）利用正方形性质，证△ABH≌△BCE.可得AH=BE.

（2）证△AOH∽△BGH， ，，再证△OHG∽△AHB.，

得∠AGO=∠ABO=45°；

（3）先证△ABG∽△BFG.得,所以，AG·GF=BG2

=（）2=18.再证△AGO∽△CGF.得,所以，GO·CG=AG·GF=18.所以，S△OGC=CG·GO.

解：（1）∵四边形ABCD是正方形,

∴∠ABC=90°，AB=CB，∠ABO=∠ECB=45°

∵AF⊥BE,

∴∠BAG+∠ABG=∠CBE+∠ABG=90°.

∴∠BAH=∠CBE.

∴△ABH≌△BCE.

∴AH=BE.

（2）∵∠AOH=∠BGH=90°,∠AHO=∠BHG,

∴△AOH∽△BGH

∴

∴

∵∠OHG=∠AHB.

∴△OHG∽△AHB.

∴∠AGO=∠ABO=45°,即∠AGO的度数为定值

（3）∵∠ABC=90°,AF⊥BE,

∴∠BAG=∠FBG,∠AGB=∠BGF=90°,

∴△ABG∽△BFG.

∴,

∴AG·GF=BG2=（）2=18.

∵△AHB∽△OHG，

∴∠BAH=∠GOH=∠GBF.

∵∠AOB=∠BGF=90°,

∴∠AOG=∠GFC.

∵∠AGO=45°,CG⊥GO,

∴∠AGO=∠FGC=45°.

∴△AGO∽△CGF.

∴,

∴GO·CG=AG·GF=18.

∴S△OGC=CG·GO=9.