Question

【题目】如图，正五边形ABCDE中．

（1）AC与BE相交于P，求证：四边形PEDC为菱形；
（2）延长DC、AE交于M点，连BM交CE于N，求证：CN=EP；
（3）若正五边形边长为2，直接写出AD的长为 ．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图1中，

∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠BCD=∠BAE=108°，
∵AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB=36°，
∴∠CBE=72°，
∴∠DCB+∠CBE=180°，
∴CD∥BE，
同法可证，AC∥DE，
∴∴四边形PEDC是平行四边形，
∵CD=DE，
∴四边形PEDC是菱形
（2）证明：如图2中，连接AN．

∵∠MCA=∠MAC=72°，
∴MC=MA，
∵BC=BA，
∴BM垂直平分线段AC，
∴NC=NA，
∴∠NCA=∠NAC=∠CEP=36°，
∵∠PAE=∠NEA=72°，
∴∠PEA=∠NAE=36°，
∵AE=EA，
∴△PAE≌△NEA，
∴AN=PE，
∴CN=PE
（3） +1
【解析】（3）解：如图3中．在AD上取一点W，使得AW=WE．设AW=x．

∵∠A=∠D=∠AEW=36°，
∴∠DWE=∠DEW=72°，
∴DW=DE=2，
∵∠A=∠A，∠AEW=∠D，
∴△AWE∽△AED，
∴AE2=AWAD，
∴22=x（x+2），
解得x= ﹣1，
∴AD=2+x= +1，
故答案为 +1
（1）根据正五边形的性质及等腰三角形的性质求出∠DCB和∠CBE的度数，就可证明∠DCB+∠CBE=180°，可得CD∥BE，同法可证AC∥ED，由此根据菱形的判定即可证明。
（2）如图2中，连接AN，先根据MC=MA，BC=BA得出BM垂直平分线段AC，得出CN=AN，再证明△PAE≌△NEA，即可解决问题。
（3）如图3中．在AD上取一点W，使得AW=WE．设AW=x，相聚已知条件证明△AWE∽△AED，可得AE2=AWAD，构建方程即可解决问题。