Question

【题目】如图，是的直径，是上半圆的弦，过点作的切线交的延长线于点，过点作切线的垂线，垂足为，且与交于点，设，的度数分别是.

(1)用含的代数式表示，并直接写出的取值范围；

(2)连接与交于点，当点是的中点时，求，的值.

Answer 1

【答案】（1）β=90°-2α（0°＜α＜45°）；（2）α=β=30°.

【解析】

试题分析：（1）首先证明∠DAE=2α，在Rt△ADE中，根据两锐角互余，可知2α+β=90°，（0°＜α＜45°）；

（2）连接OF交AC于O′，连接CF．只要证明四边形AFCO是菱形，推出△AFO是等边三角形即可解决问题；

试题解析：（1）连接OC．

∵DE是⊙O的切线，∴OC⊥DE，

∵AD⊥DE，∴AD∥OC，∴∠DAC=∠ACO，

∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∴∠DAE=2α，

∵∠D=90°，∴∠DAE+∠E=90°，

∴2α+β=90°（0°＜α＜45°），即β=90°-2α（0°＜α＜45°）．

（2）连接OF交AC于O′，连接CF．

∵AO′=CO′，∴AC⊥OF，∴FA=FC，∴∠FAC=∠FCA=∠CAO，

∴CF∥OA，∵AF∥OC，∴四边形AFCO是平行四边形，

∵OA=OC，∴四边形AFCO是菱形，∴AF=AO=OF，

∴△AOF是等边三角形，∴∠FAO=2α=60°，∴α=30°，

∵2α+β=90°，∴β=30°，∴α=β=30°．