Question

【题目】如图，正方形ABCD的边长是2，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值为 ．

Answer 1

【答案】.

【解析】

试题过D作AE的垂线交AE于F，交AC于D′，再过D′作D′P′⊥AD，由角平分线的性质可得出D′是D关于AE的对称点，进而可知D′P′即为DQ+PQ的最小值．

作D关于AE的对称点D′，再过D′作D′P′⊥AD于P′，

∵DD′⊥AE，

∴∠AFD=∠AFD′，

∵AF=AF，∠DAE=∠CAE，

∴△DAF≌△D′AF，

∴D′是D关于AE的对称点，AD′=AD=2，

∴D′P′即为DQ+PQ的最小值，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠DAD′=45°，

∴AP′=P′D′，

∴在Rt△AP′D′中，

P′D′2+AP′2=AD′2，AD′2=4，

∵AP′=P′D'，

2P′D′2=AD′2，即2P′D′2=4，

∴P′D′=

，即DQ+PQ的最小值为．