Question

【题目】在矩形ABCD中，AB=3，BC=6，点E在边BC上，且BE=2CE，将矩形沿过点E的直线折叠，点C、D的对应点分别为C′、D′，折痕与边AD交于点F，当点B、C′、D′恰好在同一直线上时，AF的长为 ．

Answer 1

【答案】4 或4﹣
【解析】解：由折叠的性质得，∠EC′D′=∠C=90°，C′E=CE， ∵点B、C′、D′在同一直线上，
∴∠BC′E=90°，
∵BC=6，BE=2CE，
∴BE=4，C′E=CE=2，
在Rt△BC′E中， =2，
∴∠C′BE=30°，①当点C′在BC的上方时，
如图1，过E作EG⊥AD于G，延长EC′交AD于H，则四边形ABEG是矩形，

∴EG=AB=3，AG=BE=4，
∵∠C′BE=30°，∠BC′E=90°，
∴∠BEC′=60°，
由折叠的性质得，∠C′EF=′CEF，
∴∠C′EF=∠CEF=60°，
∵AD∥BC，
∴∠HFE=∠CEF=60°，
∴△EFH是等边三角形，
∴在Rt△EFG中，EG=3，
∴GF= ，
∴AF═4+ ，②当点C′在BC的下方时，如图2，

过F作FG⊥AD于G，D′F交BE于H，同①可得四边形ABGF是矩形，△EFH是等边三角形，
∴AF=BG，FG=AB=3，∠FEH=60°，
在Rt△EFG中，GE= ，
∵BE=4，
∴BG=4﹣ ，
∴AF=4﹣ ，
综上所述，AF的长是4 或4﹣ ．
所以答案是：4 或4﹣ ．
【考点精析】认真审题，首先需要了解矩形的性质(矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等)，还要掌握翻折变换（折叠问题）(折叠是一种对称变换，它属于轴对称，对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和角相等)的相关知识才是答题的关键．