Question

【题目】如图，已知二次函数的图象与轴交于两点与轴交于点，⊙的半径为为⊙上一动点.

（1）点的坐标分别为（ ），（ ）；

（2）是否存在点，使得为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)连接，若为的中点，连接，则的最大值= .

Answer 1

【答案】（1）3，0；0，-4；（2）（-1，-2）或（（，），或（，--4）或（--，）；（3）．

【解析】

试题分析：（1）在抛物线解析式中令y=0可求得B点坐标，令x=0可求得C点坐标；

（2）①当PB与⊙相切时，△PBC为直角三角形，如图1，连接BC，根据勾股定理得到BC=5，BP2=2，过P2作P2E⊥x轴于E，P2F⊥y轴于F，根据相似三角形的性质得到，设OC=P2E=2x，CP2=OE=x，得到BE=3-x，CF=2x-4，于是得到FP2=，EP2=，求得P2（，-），过P1作P1G⊥x轴于G，P1H⊥y轴于H，同理求得P1（-1，-2），②当BC⊥PC时，△PBC为直角三角形，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论；

（3）如图2，当PB与⊙C相切时，OE的值最大，过E作EM⊥y轴于M，过P作PF⊥y轴于F，根据平行线等分线段定理得到ME=（OB+PF）=，OM=MF=OF=，根据勾股定理即可得到结论．

试题解析：（1）在y=x2-4中，令y=0，则x=±3，令x=0，则y=-4，

∴B（3，0），C（0，-4）；

（2）存在点P，使得△PBC为直角三角形，

①当PB与⊙相切时，△PBC为直角三角形，如图（2）a，连接BC，

∵OB=3．OC=4，

∴BC=5，

∵CP2⊥BP2，CP2=，

∴BP2=2，

过P2作P2E⊥x轴于E，P2F⊥y轴于F，则△CP2F∽△BP2E，四边形OCP2B是矩形，

∴，

设OC=P2E=2x，CP2=OE=x，

∴BE=3-x，CF=2x-4，

∴，

∴x=，2x=，

∴FP2=，EP2=，

∴P2（，），

过P1作P1G⊥x轴于G，P1H⊥y轴于H，

同理求得P1（-1，-2），

②当BC⊥PC时，△PBC为直角三角形，过P4作P4H⊥y轴于H，则△BOC∽△CHP4，

∴，

∴CH=，P4H=，

∴P4（，--4）；

同理P3（-，）；

综上所述：点P的坐标为：（-1，-2）或（（，），或（，--4）或（--，）；

（3）如图（3），当PB与⊙C相切时，PB与y 轴的距离最大，OE的值最大，

∵过E作EM⊥y轴于M，过P作PF⊥y轴于F，

∴OB∥EM∥PF，

∵E为PB的中点，

∴ME=（OB+PF）=，OM=MF=OF=，

∴OE=．