Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，EF过点O且EF⊥AC分别交DC于点F，交AB于点E，点G是AE中点且∠AOG=30°，给出以下结论：

①∠AFC=120°；

②△AEF是等边三角形；

③AC=3OG；

④S△AOG=S△ABC

其中正确的是______．（把所有正确结论的序号都选上）

Answer 1

【答案】①②④．

【解析】试题分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OG=AG=GE=AE，再根据等边对等角可得∠OAG=30°，∠EOG=60°，从而根据矩形的性质得到∠ACF=30°，因此由线段垂直平分线的性质可得FC=AF，因此可根据等边对等角得到∠FAE=30°，根据三角形的内角和求得∠AFC=120°，故①正确；

由∠AFC=120°，∠FCA=30°，可知∠AFE=60°，因此△AEF是等边三角形，故②正确；

连接CE，则根据三角形的中位线可知CE=2OG，由矩形的性质可得四边形AECF是菱形，且，由OE=OG，OA=AC，可知，解得AC=OG，故③不正确；

令AE=2a，则OG=OE=a，AO=a，AC=2a，由S△AOE=×a×a=2，S矩形ABCD=3a×a=3a2 ，即S△AOG＝S△ABC，故④正确.

故答案为：①②④.