Question

【题目】如图①，在四边形ABCD中，∠A＝x°，∠C＝y°（0°＜x＜180°，0°＜y＜180°）.

（1）∠ABC＋∠ADC＝ °．（用含x，y的代数式表示）

（2）如图1，若x=y=90°，DE平分∠ADC，BF平分与∠ABC相邻的外角，请写出DE与BF的位置关系，并说明理由．

（3）如图2，∠DFB为四边形ABCD的∠ABC、∠ADC相邻的外角平分线所在直线构成的锐角，

①当x＜y时，若x+y=140°，∠DFB=30°，试求x、y．

②小明在作图时，发现∠DFB不一定存在，请直接指出x、y满足什么条件时，∠DFB不存在．

Answer 1

【答案】（1）360°-x-y；（2）DE⊥BF；（3）①x＝40°，y＝100°；②x=y.

【解析】

（1）利用四边形内角和定理得出答案即可；

（2）利用角平分线的性质结合三角形外角的性质得出即可；

（3）①利用角平分线的性质以及三角形内角和定理，得出∠DFB=y-x=30°，进而得出x，y的值；

②当x=y时，∠ABC、∠ADC相邻的外角平分线所在直线互相平行，此时∠DFB不存在．

（1）∠ABC+∠ADC=360°-x-y；

故答案为：360°-x-y；

（2）如图1，延长DE交BF于G

∵DE平分∠ADC，BF平分∠MBC，

∴∠CDE=∠ADC，∠CBF=∠CBM，

又∵∠CBM=180°-∠ABC=180°-（180°-∠ADC）=∠ADC，

∴∠CDE=∠CBF，

又∵∠BED=∠CDE+∠C=∠CBF+∠BGE，

∴∠BGE=∠C=90°，

∴DG⊥BF（即DE⊥BF）；

（3）①由（1）得：∠CDN+∠CBM=x+y，

∵BF、DF分别平分∠CBM、∠CDN，

∴∠CDF+∠CBF=（x+y），

如图2，连接DB，则∠CBD+∠CDB=180°-y，

得∠FBD+∠FDB=180°-y+（x+y）=180°-y+x，

∴∠DFB=y-x=30°，

解方程组：，

解得：；

②当x=y时，∠ABC、∠ADC相邻的外角平分线所在直线互相平行，此时∠DFB不存在．