Question

【题目】如图，菱形ABCD中，对角线AC ， BD相交于点O ， 且AC=6cm，BD=8cm，动点P ， Q分别从点B ， D同时出发，运动速度均为1cm/s，点P沿B→C→D运动，到点D停止，点Q沿D→O→B运动，到点O停止1s后继续运动，到点B停止，连接AP ， AQ ， PQ ． 设△APQ的面积为y（cm2）（这里规定：线段是面积0的几何图形），点P的运动时间为x（s）．

（1）填空：AB=cm，AB与CD之间的距离为cm；
（2）当4≤x≤10时，求y与x之间的函数解析式；
（3）直接写出在整个运动过程中，使PQ与菱形ABCD一边平行的所有x的值．

Answer 1

【答案】
（1）5；
（2）解：设∠CBD=∠CDB=θ，则易得：sinθ= ，cosθ= ．

①当4≤x≤5时，如答图1﹣1所示，此时点Q与点O重合，点P在线段BC上．

∵PB=x，

∴PC=BC﹣PB=5﹣x．

过点P作PH⊥AC于点H，则PH=PCcosθ= （5﹣x）．

∴y=S△APQ= QAPH= ×3× （5﹣x）=﹣ x+6；

②当5＜x≤9时，如答图1﹣2所示，此时点Q在线段OB上，点P在线段CD上．

PC=x﹣5，PD=CD﹣PC=5﹣（x﹣5）=10﹣x．

过点P作PH⊥BD于点H，则PH=PDsinθ= （10﹣x）．

∴y=S△APQ=S菱形ABCD﹣S△ABQ﹣S四边形BCPQ﹣S△APD

=S菱形ABCD﹣S△ABQ﹣（S△BCD﹣S△PQD）﹣S△APD

= ACBD﹣ BQOA﹣（ BDOC﹣ QDPH）﹣ PD×h

= ×6×8﹣ （9﹣x）×3﹣[ ×8×3﹣ （x﹣1） （10﹣x）]﹣ （10﹣x）×

=﹣ x2+ x﹣ ；

③当9＜x≤10时，如答图1﹣3所示，此时点Q与点B重合，点P在线段CD上．

y=S△APQ= AB×h= ×5× =12．

综上所述，当4≤x≤10时，y与x之间的函数解析式为：

y=

（3）解：有两种情况：

①若PQ∥CD，如答图2﹣1所示．

此时BP=QD=x，则BQ=8﹣x．

∵PQ∥CD，

∴ ，

即 ，

∴x= ；

②若PQ∥BC，如答图2﹣2所示．

此时PD=10﹣x，QD=x﹣1．

∵PQ∥BC，

∴ ，

即 ，

∴x= ．

综上所述，满足条件的x的值为 或 ．

【解析】解：（1）∵菱形ABCD中，AC=6cm，BD=8cm，
∴AC⊥BD，
∴AB= = =5，
设AB与CD间的距离为h，
∴△ABC的面积S= ABh，
又∵△ABC的面积S= S菱形ABCD= × ACBD= ×6×8=12，
∴ ABh=12，
∴h= = ．
【考点精析】掌握勾股定理的概念和菱形的性质是解答本题的根本，需要知道直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形；菱形的面积等于两条对角线长的积的一半．