Question

【题目】如图，在△ADC中，AD＝2，CD＝4，∠ADC是一个不固定的角，以AC为边向△ADC的另一侧作等边三角形ABC，连接BD，则BD的长是否存在最大值？若存在，请求出其最大值；若不存在，请说明理由；

Answer 1

【答案】BD存在最大值，最大值是6．

【解析】

以AD为边做作等边三角形ADE,连接CE，根据等边三角形的性质和全等三角形的判定证明△ABD≌△ACE，再利用全等三角形的性质以及两点之间线段最短，即可证得结论．

证明：BD存在最大值；

如图，以AD为边做作等边三角形ADE,连接CE，

∵△ABC、△ADE都是等边三角形，

∴AB=AC，AD=AE=DE=2，∠BAC=∠EAD=60°,

∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠EAC=∠EAD+∠DAC

∴∠BAD=∠EAC，且AB=AC，AD=AE

∴△ABD≌△ACE

∴BD=CE

若点E,点D,点C不在一条直线上，则EC<ED+DC;

若点E,点D,点C在一条直线上，则EC=ED+DC．

∴EC≤ED+CD=2+4=6

∴BD≤6,

∴BD存在最大值，最大值是6．