Question

【题目】如图1，2，3分别以△ABC的AB和AC为边向△ABC外作正三角形（等边三角形）、正四边形（正方形）、正五边形，BE和CD相交于点O．

（1）在图1中，求证：△ABE≌△ADC．

（2）由（1）证得△ABE≌△ADC，由此可推得在图1中∠BOC=120°，请你探索在图2中，∠BOC的度数，并说明理由或写出证明过程．

（3）填空：在上述（1）（2）的基础上可得在图3中∠BOC= （填写度数）．

（4）由此推广到一般情形（如图4），分别以△ABC的AB和AC为边向△ABC外作正n边形，BE和CD仍相交于点O，猜想得∠BOC的度数为 （用含n的式子表示）．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）∠BOC=90°；（3）72°；（4）．

【解析】

试题分析：（1）根据等边三角形证明AB=AD，AC=AE，再利用等式性质得∠DAC=∠BAE，根据SAS得出△ABE≌△ADC；

（2）根据正方形性质证明△ABE≌△ADC，得∠BEA=∠DCA，再由正方形ACEG的内角∠EAC=90°和三角形外角和定理得∠BOC=90°；

（3）根据正五边形的性质证明：△ADC≌△ABM，再计算五边形每一个内角的度数为108°，由三角形外角定理求出∠BOC=72°；

（4）根据正n边形的性质证明：△ADC≌△ABM，再计算n边形每一个内角的度数为180°﹣，由三角形外角定理求出∠BOC=．

试题解析：（1）如图1，∵△ABD和△ACE是等边三角形，∴AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，∴△ABE≌△ADC；

（2）如图2，∠BOC=90°，理由是：

∵四边形ABFD和四边形ACGE都是正方形，∴AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=90°，∴∠BAE=∠DAC，∴△ADC≌△ABE，∴∠BEA=∠DCA，∵∠EAC=90°，∴∠AMC+∠DCA=90°，∵∠BOC=∠OME+∠BEA=∠AMC+∠DCA，∴∠BOC=90°；

（3）如图3，同理得：△ADC≌△ABM，∴∠BME=∠DCA，∵∠BOC=∠BME+∠OEM=∠DCA+∠AEC，∵正五边形ACIGM，∴∠EAC=180°﹣=108°，∴∠DCA+∠AEC=72°，∴∠BOC=72°；

故答案为：72°；

（4）如图4，∠BOC的度数为，理由是：

同理得：△ADC≌△ABM，∴∠BME=∠DCA，∵∠BOC=∠BME+∠OEM=∠DCA+∠AEC，∵正n边形AC…M，∴∠EAC=180°﹣，∴∠DCA+∠AEC=180°﹣（180°﹣），∴∠BOC=．