Question

【题目】如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°, ∠B=30°,AC=1,CD⊥AB，垂足为D，现将△ACD绕D点顺时针旋转得到△A‘C’D, 旋转时间为t秒，△ACD绕D点旋转的角速度/秒(每秒转10度) ．

（1）旋转时间t= 秒时，A‘C’∥AB;

（2）△ACD绕D点顺时针旋转一周（3600），斜边AC扫过的面积为 ；

（3）如图②，连接A’C、 C’B．

①若6＜t＜9，求证： 为定值；

②当t＞9时，上述结论还成立吗？如成立直接写出比值，不成立请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）6（2）（3）①证明见解析；②结论成立，比值仍为.

【解析】分析：（1）由旋转的旋转可得若要∥AB,可 ,即可求解；（2）由题意可知斜边AC扫过的面积为以点D为圆心CD，AC边上的高为半径的环形，利用大圆面积减去小圆面积即可求解；（3）①当6＜t＜9时，知60°＜α＜90°，由△ ∽△和△ ∽△得到为定值 ；②用与①相同的方法即可得出结果.

本题解析：

（1）由∥AB,得，∴t=6.

（2）设AC边上的高为h,由 .

（3）①当6＜t＜9时，知600＜＜900

如图连接AA‘、C C’

由旋转定义知

∠AD A‘=∠CD C’=∠

∵AD=A‘D、CD= C‘D

∴△ADA‘ ∽△C D C‘．

∴∠A‘A D =∠C‘CD ; ,

又∵∠CAD =∠BCD =60O

∴△ACA‘ ∽△C BC’

∴为定值.

②结论成立，比值仍为.