Question

【题目】阅读下面材料：

小敏遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，DE∥BC分别交AB于D，交AC于E．已知CD⊥BE，CD=3，BE=5，求BC+DE的值．

小明发现，过点E作EF∥DC，交BC延长线于点F，构造△BEF，经过推理和计算能够使

问题得到解决（如图2）．

（1）请回答：BC+DE的值为　　．

（2）参考小明思考问题的方法，解决问题：

如图3，已知ABCD和矩形ABEF，AC与DF交于点G，AC=BF=DF，求∠AGF的度数．

如图4，已知：AB、CD交于E点，连接AD、BC，AD=3，BC=1．且∠B与∠D互为余角，∠A与∠C互为补角，则∠AED= 度，若CD=，求AB的长．

Answer 1

【答案】（1）；（2）∠AGF=60°，∠AED=45°，AB＝7

【解析】试题分析：（1）由DE∥BC，EF∥DC，可证得四边形DCFE是平行四边形，求出DE=CF，DC=EF，由DC⊥BE，四边形DCFE是平行四边形，可得Rt△BEF，求出BF的长，证明BC+DE=BF；

（2）首先连接AE，CE，由四边形ABCD是平行四边形，四边形ABEF是矩形，易证得四边形DCEF是平行四边形，继而证得△ACE是等边三角形，则可求得答案．

以CD、CB为邻边作平行四边形BCDF，则有∠ABF=∠AED=45°，BF=DC=4，通过解直角三角形求解即可.

试题解析：（1）∵DE∥BC，EF∥DC，

∴四边形DCFE是平行四边形，

∴EF=CD=3，CF=DE，

∵CD⊥BE，

∴EF⊥BE，

∴BC+DE=BC+CF=BF=

（2）解决问题：连接AE，CE，如图．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥DC．

∵四边形ABEF是矩形，

∴AB∥FE，BF=AE．

∴DC∥FE．

∴四边形DCEF是平行四边形．

∴CE∥DF．

∵AC=BF=DF，

∴AC=AE=CE．

∴△ACE是等边三角形．

∴∠ACE=60°．

∵CE∥DF，

∴∠AGF=∠ACE=60°．

∵∠B与∠D互为余角，∠A与∠C互为补角，

∴∠D+∠B=90°，∠A+∠C=180°．

∵∠A+∠D+∠AED=180°，

∠B+∠C+∠BEC=180°，

∴∠A+∠D+∠AED+∠B+∠C+∠BEC=360°．

∴∠AED+∠BEC+90°+180°=360°．

∴∠AED+∠BEC=90°．

∵∠AED=∠BEC，

∴∠AED=∠BEC=45°．

以CD、CB为邻边作平行四边形BCDF，连接AF，如图2所示，

∵四边形BCDF是平行四边形，

∴BF=DC=4，DF=BC=1，∠DFB=∠C=180°﹣∠DAB，DC∥BF．

∴∠ABF=∠AED=45°．

在四边形ABFD中，

∵∠DAB+∠ABF+∠BFD+∠ADF=360°，∠DFB=180°﹣∠DAB，∠ABF=45°，

∴∠ADF=135°．

DF=1 , DG=FG=

在△AGF中，

∵AG=3.5，DG=，∠G=90°，

∴AF=5

BF=4,FH=BH=4,AF=5,AH=3

∴AB的长为7．