Question

【题目】如图：在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线交BC于点E（尺规作图的痕迹保留在图中了），连接EF．

（1）求证：四边形ABEF为菱形；
（2）AE，BF相交于点O，若BF=6，AB=5，求AE的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：由尺规作∠BAF的角平分线的过程可得AB=AF，∠BAE=∠FAE，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠FAE=∠AEB，

∴∠BAE=∠AEB，

∴AB=BE，

∴BE=FA，

∴四边形ABEF为平行四边形，

∵AB=AF，

∴四边形ABEF为菱形；

（2）解：∵四边形ABEF为菱形，

∴AE⊥BF，BO= FB=3，AE=2AO，

在Rt△AOB中，AO= =4，

∴AE=2AO=8．

【解析】（1）由尺规作图和已知先证出BE=FA，再由一组对边平行且相等的四边形可得四边形ABEF为平行四边形，又AB=AF可得证；
（2）由菱形的性质易求出BO=3和∠AOB=90°，在Rt△AOB中可求出AO的值，再由菱形的性质可求出AE的长.
【考点精析】解答此题的关键在于理解平行四边形的性质的相关知识，掌握平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分．