Question

【题目】如图1，等腰△ABC中，AC=BC，点O在AB边上，以O为圆心的圆与AC相切于点C，交AB边于点D，EF为⊙O的直径，EF⊥BC于点G．

（1）求证：D是弧EC的中点；

（2）如图2，延长CB交⊙O于点H，连接HD交OE于点K，连接CF，求证：CF=OK+DO；

（3）如图3，在（2）的条件下，延长DB交⊙O于点Q，连接QH，若DO=，KG=2，求QH．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）

【解析】(1)如图1中,连接OC,根据等角的余角相等,证明即可.

(2)如图2中,连接OC,首先证明,再证明点K在以F为圆心FC为半径的圆上即可解决问题;

(3)如图3中,连接OC、作HM⊥AQ于M.设OK=x,则CF= ,OG=2-x,GF=,根据CG2=CF2-FG2=CO2-OG2,列出方程求出x,再想办法求出HM、MQ即可解决问题.

（1）证明：如图1中，连接OC．

∵AC是⊙O的切线，

∴OC⊥AC，

∴∠ACO=90°，

∴∠A+∠AOC=90°，

∵CA=CB，

∴∠A=∠B，

∵EF⊥BC，

∴∠OGB=90°，

∴∠B+∠BOG=90°，

∴∠BOG=∠AOC，

∵∠BOG=∠DOE，

∴∠DOC=∠DOE，

∴点D是的中点．

（2）证明：如图2中，连接OC．

∵EF⊥HC，

∴CG=GH，

∴EF垂直平分HC，

∴FC=FH，

∵∠CFK=∠COE，

∵∠COD=∠DOE，

∴∠CFK=∠COD，

∵∠CHK=∠COD，

∴∠CHK=∠CFK，

∴点K在以F为圆心FC为半径的圆上，

∴FC=FK=FH，

∵DO=OF，

∴DO+OK=OF+OK=FK=CF，

即CF=OK+DO；

（3）解：如图3中，连接OC、作HM⊥AQ于M．设OK=x，则CF=+x，OG=2﹣x，GF=﹣（2﹣x），

∵CG2=CF2﹣FG2=CO2﹣OG2，

∴（+x）2﹣[（2﹣x）]2=（）2﹣（2﹣x）2，

解得x=，

∴CF=5，FG=4，CG=3，OG=，

∵∠CFE=∠BOG，

∴CF∥OB，

∴==，

可得OB=，BG=，BH=，

由△BHM∽△BOG，可得==，

∴BM=，HM=，MQ=OQ﹣OB﹣BM=，

在Rt△HMQ中，QH===．