Question

【题目】如图，在⊙O中，M是弦AB的中点，过点B作⊙O的切线，与OM延长线交于点C．

（1）求证：∠A=∠C；

（2）若OA=5，AB=8，求线段OC的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）连接OB，由OA=OB，可知∠A=∠OBM，又M是AB中点，利用等腰三角形三线合一定理可知OC⊥AB，即可得∠C+∠CBM=90°，而BC是切线可得∠OBM+∠CBM=90°，即∠A+∠CBM=90°，利用等角的余角相等可得∠A=∠C；

（2）由（1）得∠C=∠OBM，∠OBC=∠OMB=90°，易证△OMB∽△OBC，即可得OB：OC=OM：OB，而BM=AB=4，根据勾股定理可求OM，进而即可求出OC的长．

（1）证明：连接OB，

∵BC是切线，

∴∠OBC=90°，

∴∠OBM+∠CBM=90°，

∵OA=OB，

∴∠A=∠OBM，

∵M是AB的中点，

∴OM⊥AB．

∴∠C+∠CBM=90°，

∴∠C=∠OBM，

∴∠A=∠C；

（2）∵∠C=∠OBM，∠OBC=∠OMB=90°，

∴△OMB∽△OBC，

∴=，

又∵BM=AB=4，

∴OM=52-42=3，

∴OC==．