Question

【题目】如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AD，CE是角平分线，AD与CE相交于点F，FM⊥AB，FN⊥BC，垂足分别为M，N.求证：FE＝FD.

Answer 1

【答案】证明见解析

【解析】试题分析：连结BF，根据角平分线的性质定理可到FM=FN，再求得∠NEF=75°=∠MDF，即可证明△EFM≌△DFN，根据全等三角形的性质可得FE=FD．

试题解析：

连结BF.

∵F是∠BAC与∠ACB的平分线的交点，

∴BF是∠ABC的平分线．

又∵FM⊥AB，FN⊥BC，

∴FM＝FN，∠EMF＝∠DNF＝90°.

∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，

∴∠BAC＝30°，

∴∠DAC＝∠BAC＝15°，

∴∠CDA＝75°.

易得∠ACE＝45°，

∴∠CEB＝∠BAC＋∠ACF＝75°，

即∠NDF＝∠MEF＝75°.

在△DNF和△EMF中，∵

∴△DNF≌△EMF(AAS)．

∴FE＝FD.