Question

【题目】如图，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠ABC=∠BAD=90°，AD=BC，AC，BD相交于点G，过点A作AE∥DB交CB的延长线于点E，过点B作BF∥CA交DA的延长线于点F，AE，BF相交于点H．

（1）图中有若干对三角形是全等的，请你任选一对进行证明；（不添加任何辅助线）

（2）证明：四边形AHBG是菱形；

（3）若使四边形AHBG是正方形，还需在Rt△ABC的边长之间再添加一个什么条件？请你写出这个条件．（不必证明）

Answer 1

【答案】(1)详见解析；（2）详见解析；（3）需要添加的条件是AB=BC．

【解析】试题分析：（1）可根据已知条件，或者图形的对称性合理选择全等三角形，如△ABC≌△BAD，利用SAS可证明．

（2）由已知可得四边形AHBG是平行四边形，由（1）可知∠ABD=∠BAC，得到△GAB为等腰三角形，AHBG的两邻边相等，从而得到平行四边形AHBG是菱形．

试题解析：

（1）解：△ABC≌△BAD．

证明：∵AD=BC，

∠ABC=∠BAD=90°，

AB=BA，

∴△ABC≌△BAD（SAS）．

（2）证明：∵AH∥GB，BH∥GA，

∴四边形AHBG是平行四边形．

∵△ABC≌△BAD，

∴∠ABD=∠BAC．

∴GA=GB．

∴平行四边形AHBG是菱形．

（3）需要添加的条件是AB=BC．