Question

【题目】已知：梯形中，，联结（如图1）. 点沿梯形的边从点移动，设点移动的距离为，.

（1）求证：；

（2）当点从点移动到点时，与的函数关系（如图2）中的折线所示. 试求的长；

（3）在（2）的情况下，点从点移动的过程中，是否可能为等腰三角形？若能，请求出所有能使为等腰三角形的的取值；若不能，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3），，，，或

【解析】

（1）由平行线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质得出∠ABD=∠CDB，∠A+∠ADC=180°，∠ABD+∠CBD=90°，∠ABD=∠ADB，得出∠A+2∠ABD=180°，2∠ABD+2∠CBD=180°，即可得出结论；

（2）作DE⊥AB于E，则DE=BC=3，CD=BE，由勾股定理求出AE==4，得出CD=BE=AB-AE=1；

（3）分情况讨论：①点P在AB边上时；②点P在BC上时；③点P在AD上时；由等腰三角形的性质和勾股定理即可得出答案．

（1）证明：∵，

∴，

又∵，

∴

∵，

∴，即

∴

（2）解：由点，得，

由点点的横坐标是8，得时，∴

作于，∵，∴，

∵，∴

（3）

情况一：点在边上，作，

当时，是等腰三角形，此时，，

∴

情况二：点在边上，当时是等腰三角形，

此时，，，

∴在中，，

即，

∴

情况三：点在边上时，不可能为等腰三角形

情况四：点在边上，有三种情况

1°作，当时，为等腰三角形，

此时，∵，

∴，

又∵，

∴

∴，

∴，

∴，

∴

∴

2°当时为等腰三角形，

此时，

3°当点与点重合时为等腰三角形，

此时或.