Question

【题目】如图，已知在四边形ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，AE＝CF，BF＝DE．求证：四边形ABCD是平行四边形．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

证明：证法一：∵BF＝DE，

∴BF－EF＝DE－EF，即BE＝DF．

又∵AE⊥BD，CF⊥BD．

∴∠AEB＝∠CFD＝90°．

∵在△ABE和△CDF中，BE＝DF，∠AEB＝∠CFD，AE＝CF，∴△ABE≌△CDF(SAS)，∴AB＝CD．

∵在△ADE和△CBF中，AE＝CF，∠AED＝∠BFC＝90°，DE＝BF，∴△ADE≌△CBF(SAS)，∴AD＝BC．

∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)．

证法二：同证法一，得△ABE≌△CDF，

∴∠ABE＝∠CDF，

∴AB∥CD．同理可证：AD∥BC，

∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)．

证法三：同证法一，得△ABE≌△CDF，

∴AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，∴AB∥CD．

∴四边形ABCD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)．

证法四：连接AC，交BD于点O．

∵∠AEO＝∠CFO＝90°，∠AOE＝∠COF，AE＝CF．

∴△AOE≌△COF(AAS)，∴AO＝CO，EO＝FO．

∵BF＝DE，∴BE＝DF，∴BE＋EO＝DF＋FO，即BO＝DO．

∴四边形ABCD是平行四边形(两条对角线互相平分的四边形是平行四边形)．