Question

【题目】将一副三角板按如图方式摆放，两个直角顶点重合，∠A=60°，∠E=∠B=45°．

（1）求证：∠ACE=∠BCD；

（2）猜想∠ACB与∠ECD数量关系并说明理由；

（3）按住三角板ACD不动，绕点C旋转三角板ECB，探究当∠ACB等于多少度时，AD∥CB．请在备用图中画出示意图并简要说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析;（2）猜想：∠ACB+∠ECD=180°．理由见解析;（3）当∠ACB=120°或60°时，AD∥CB．理由理由见解析.

【解析】试题分析：

（1）由∠ACD=∠BCE=90°，可得∠ACD-∠DCE=∠BCE-∠DCE，从而可得∠ACE=∠BCD；

（2）猜想：∠ACB+∠ECD=180°．由∠ACB+∠ECD=∠ACD+∠BCD+∠ECD=∠ACD+∠BCE=90°+90°=180°可得结论；

（3）如下图，因为∠A=60°，根据“同旁内角互补，两直线平行和内错角相等，两直线平行”可知，当∠ACB=120°，或∠ACB=60°时，AD∥BC.

试题解析：

（1）∵∠ACD=∠ECB=90°，

∴∠ACD﹣∠ECD=∠ECB﹣∠ECD，

即∠ACE=∠BCD．

（2）猜想：∠ACB+∠ECD=180°．理由如下：

∵∠ACB=∠ACD+∠DCB

∴∠ACB+∠ECD

=∠ACD+∠DCB+∠ECD

又∵∠DCB+∠ECD=∠ECB，

∴∠ACB+∠ECD=∠ACD+∠ECB=90°+90°=180°.

（3）当∠ACB=120°或60°时，AD∥CB．理由如下：

①如图1，根据“同旁内角互补，两直线平行”：

当∠A+∠ACB=180°时，AD∥BC，

此时，∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣60°=120°．

②如图2，根据“内错角相等，两直线平行”：

当∠ACB=∠A=60°时，AD∥BC．

综上所述，当∠ACB=120°或60°时，AD∥BC.