【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以AC为直径作⊙O,交AB于D,过点O作OE∥AB,交BC于E.
(1)求证:ED为⊙O的切线;
(2)如果⊙O的半径为,ED=2,延长EO交⊙O于F,连接DF、AF,求△ADF的面积.
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】试题分析:(1)首先连接OD,由OE∥AB,根据平行线与等腰三角形的性质,易证得≌
即可得
,则可证得
为
的切线;
(2)连接CD,根据直径所对的圆周角是直角,即可得 利用勾股定理即可求得
的长,又由OE∥AB,证得
根据相似三角形的对应边成比例,即可求得
的长,然后利用三角函数的知识,求得
与
的长,然后利用S△ADF=S梯形ABEF-S梯形DBEF求得答案.
试题解析:(1)证明:连接OD,
∵OE∥AB,
∴∠COE=∠CAD,∠EOD=∠ODA,
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
∴∠COE=∠DOE,
在△COE和△DOE中,
∴△COE≌△DOE(SAS),
∴ED⊥OD,
∴ED是的切线;
(2)连接CD,交OE于M,
在Rt△ODE中,
∵OD=32,DE=2,
∵OE∥AB,
∴△COE∽△CAB,
∴AB=5,
∵AC是直径,
∵EF∥AB,
∴S△ADF=S梯形ABEFS梯形DBEF
∴△ADF的面积为
【题型】解答题
【结束】
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【题目】一种实验用轨道弹珠,在轨道上行驶5分钟后离开轨道,前2分钟其速度v(米/分)与时间t(分)满足二次函数v=at2,后三分钟其速度v(米/分)与时间t(分)满足反比例函数关系,如图,轨道旁边的测速仪测得弹珠1分钟末的速度为2米/分,求:
(1)二次函数和反比例函数的关系式.
(2)弹珠在轨道上行驶的最大速度.
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【题目】为鼓励学生积极参加体育锻炼,某学校准备购买一批运动鞋供学生借用,现从各年级随机抽取了部分学生所穿运动鞋的号码,绘制了如下的统计图①和图②(不完整).请根据相关信息,解答下列问题:
(1)本次接受随机抽样调查的学生人数为 ,图①中m的值为 ;
(2)请补全条形统计图,并求本次调查样本数据的众数和中位数;
(3)根据样本数据,若学校计划购买400双运动鞋,建议购买35号运动鞋多少双?
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】某工厂计划生产480个零件.当生产任务完成一半时,停止生产进行反思和改进,用时20分钟.恢复生产后工作效率比原来可以提高20%,要求比原计划提前40分钟完成任务,那么反思改进后每小时需要生产多少个零件?
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】已知:如图1,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,点A在x轴正半轴上,点C在第一象限,且∠COA=60°,以OA、OC为邻边作菱形OABC,且菱形OABC的面积为.
(1)求B. C两点的坐标;
(2)动点P从C点出发沿射线CB匀速运动,同时动点Q从A点出发沿射线BA的方向匀速运动,P、Q两点的运动速度均为2个单位/秒,连接PQ和AC,PQ和AC所在直线交于点D,点E为线段BQ的中点,连接DE,设动点P、Q的运动时间为t,请将△DQE的面积S用含t的式子表示,并直接写出t的取值范围;
(3)在(2)的条件下,过点Q作QF⊥y轴于点F,当t为何值时,以P、B.、F.、Q为顶点的四边形为平行四边形?
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【题目】阅读下列材料:
材料:我们知道,如果一个三角形的三边长固定,那么这个三角形就固定。若给出任意一个三角形的三边长,你能求出它的面积吗?设一个三角形的三边长分别为
,
,
,我们把它的面积记为
,古希腊的几何学家海伦(Hcron,约公元50年),在数学史上以解决几何测量问题而闻名,在他的著作《度量》一书中,给出了一个通过三角形的三边长来求面积的海伦公式。我们可以把海伦公式变形为:
(其中
)
材料2:把形如的二次三项式(或其一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法,配方法的基本形式是完全平方公式的逆写,即
.配方法是中学数学的重要方法,用配方法可求最最大(小)值.
例如:求的最小值.
当时,
,此时
取得最小值
,
请你运用材料提供的方法,解答以下问题:
(1)若三角形的三边长分别为,
,
,求该三角形的面积;
(2)小新手里有一根长米的铁丝,他想用这根铁丝制作一个三角形模型,要求该三角形的一边长为
米且面积最大,请你帮助他计算出这个三角形另两边的边长,并说明理由.
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【题目】在平面直角坐标系中,抛物线
经过点
和
.
(1)求抛物线的表达式和顶点坐标;
(2)将抛物线在A、B之间的部分记为图象M(含A、B两点).将图象M沿直线翻折,得到图象N.若过点
的直线
与图象M、图象N都相交,且只有两个交点,求b的取值范围.
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【题目】为了了解成都市初中学生“数学核心素养”的掌握情况,教育科学院命题教师赴某校初三年级进行调 研,命题教师将随机抽取的部分学生成绩(得分为整数,满分 160 分)分为 5 组:第一组 85~100;第二组100~115;第三组 115~130;第四组 130~145;第五组 145~160,统计后得到如图所示的频数分布直方图(每组含最小值不含最大值)和扇形统计图,观察图形的信息,回答下列问题:
(1)本次调查共随机抽取了该年级多少名学生?成绩为第五组的有多少名学生?
(2)针对考试成绩情况,现各组分别派出1名代表(分别用 A、B、C、D、E 表示5个小组中选出来的同学),命题教师从这5名同学中随机选出两名同学谈谈做题的感想,请你用列表或画树状图的方法求出所选两名同学刚好来自第一、五组的概率.
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