Question

【题目】已知：二次函数y=﹣2x2+4x+m+1，与x轴的公共点为A，B．

（1）如果A与B重合，求m的值；

（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点：

①当m=﹣1时，求线段AB上整点的个数；

②若设抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）整点的个数为n，当1＜n≤8时，结合函数的图象，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）-3（2）①当m=﹣1时，线段AB上整点的个数有3个②﹣3＜m≤0

【解析】

（1）当A、B重合时，抛物线与x轴只有一个交点，此时△=0，从可求出m的值．

（2）①m=﹣1代入抛物线解析式，然后求出该抛物线与x轴的两个交点的坐标，从而可求出线段AB上的整点个数.

②由图象可得，即可求出m的取值范围．

（1）∵A与B重合，

∴二次函数y=﹣2x2+4x+m+1的图象与x轴只有一个公共点，

∴方程﹣2x2+4x+m+1=0有两个相等的实数根，

∴△=42+4×2（m+1）=24+8m=0，

解得：m=﹣3．

∴如果A与B重合，m的值为-3．

（2）①当m=﹣1时，原二次函数为y=﹣2x2+4x+m+1=﹣2x2+4x，

令y=﹣2x2+4x=0，则x1=0，x2=2，

∴线段AB上的整点有（2，0）、（1，0）和（0，0）．

故当m=﹣1时，线段AB上整点的个数有3个．

②二次函数,

当时，

由点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）如图：

当时，

∴

∴.