Question

【题目】如图，中，，点是边上一点且，点是线段上一动点，连接，以为斜边在的下方作等腰，当从点出发运动至点停止时，点的运动路径长为__________．

Answer 1

【答案】

【解析】

过O点作OE⊥CA于E，OF⊥BC于F，连接CO，如图，易得四边形OECF为矩形，由△AOP为等腰直角三角形得到OA=OP，∠AOP=90°，则可证明△OAE≌△OPF，所以AE=PF，OE=OF，根据角平分线的性质定理的逆定理得到CO平分∠ACP，从而可判断当P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径为一条线段，接着证明CE=(AC+CP)，然后分别计算P点在D点和B点时OC的长，从而计算它们的差即可得到P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径长．

过O点作OE⊥CA于E，OF⊥BC于F，连接CO，如图，

∵△AOP为等腰直角三角形，

∴OA=OP，∠AOP=90°，

∵∠CEO=∠CFO=∠ECF=90°，

∴四边形OECF为矩形，

∴∠EOF=90°，

∴∠AOE=∠POF，

又∵OA=OP，∠AEO=∠PFO=90°，

∴△OAE≌△OPF，

∴AE=PF，OE=OF，

∴四边形OECF是正方形，

∴CE=CF=OE，

∵OE=OF，OE⊥CA，OF⊥BC，

∴CO平分∠ACP，

∴当P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径为一条线段，

∵AE=PF，

即AC﹣CE=CF﹣CP，

而CE=CF，

∴CE=(AC+CP)，

在Rt△OCE中，∠CEO=90°，∴CE2+OE2=OC2，

∴OC=CE=(AC+CP)，

当AC=2，CP=CD=1时，OC=×(2+1)=，

当AC=2，CP=CB=5时，OC=×(2+5)=，

∴当P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径长=﹣=2，

故答案为：2．